Bloque IV Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

                                                   Bloque IV

Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

Análisis de una Función Polinómica de Grado 4

Esta actividad virtual consiste en el armado y, principalmente, el análisis de una función de forma polinómica de grado 4.La herramienta utilizada para graficar, analizar y verificar esta función será el buscador inteligente wolframalpha

ECUACIONES FACTORIZABLES DE GRADO TRES Y CUATRO.

Para identificar las aplicaciones una función polinomial de grado tres, presentamos una situación común de construcción.
Se tiene una hoja cuadrada de cartón de72 cm de lado y quieres construir una caja para sus cosas recortando un cuadrado de cada esquina. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea el máximo?

En esta situación se dispone de la lámina completa en la que se puede recortar un cuadrado de lado “x”. al cortar cada esquina y doblar las partes restantes para obtener la caja de base cuadrada cuyas dimensiones son, en la base, 72 – 2x centímetros de lado y una altura de x centímetros.

El volumen de cualquier caja se obtiene como el producto de cada una de sus aristas, para este caso:

V= (72-2x)² x y desarrollando y simplificando se obtiene:

V = 4x³ – 288x² + 5 184x

Esta expresión algebraica determina el volumen máximo, pero necesitamos saber cuánto hay que recortar para que así sea. Pero si encontramos las raíces de esta función obtenernos el valor para que sea cero la función y no el valor de x para un mayor volumen. Al realizar un tabla de valores para x y y, encontraremos que hay un máximo volumen en 12 centímetros.

CARACTERIZA EL COMPORTAMIENTO GENERAL, ALGEBRAICO Y GRÁFICO DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO.

        La determinación de las raíces de un polinomio es una práctica antigua y la notación utilizada actualmente se desarrolló en el siglo XV.

    En la actualidad, debido a su estructura, los polinomios son muy sencillos de evaluar y se usan ampliamente como herramienta poderosa en otras ramas de las matemáticas. Por lo general se usan para relacionar volumen en el espacio o en el tiempo.

    Las funciones polinomiales de grado tres tienen la forma f(x) = ax³ + bx² + cx + d, donde a no es cero.

Esta función corresponde a la función clásica y = x³ con su grafica de una “S” alargada.

Sin embargo al presentar una función cúbica con todos sus términos, esta se presenta de forma muy especial. Veamos la gráfica de la función

f(x) = x³ + 8x² + 10x +1

Funciones de grado 4

Para advertirla influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones polinomiales de grado cuatro, es necesario, al igual como lo hiciste con las funciones polinomiales de grado 3, hacer pruebas modificando los parámetros de algunas funciones.

La gráfica de las funciones de grado cuatro se eleva sobre la izquierda y la derecha, es decir, crecen en ambos lados, a excepción de aquella cuyo coeficiente principal es negativo, decrece en ambos lados.

Raíces (ceros)reales de funciones polinomiales de grado 3 y 4

Las raíces reales de una función se obtienen cuando la función se hace 0, es decir

f(x) = 0, en algunos casos son fáciles de apreciar en el plano cartesiano.

Las raíces se logran apreciar en cada cruce que tiene la gráfica con el eje de las “x”, y como has notado, el número de raíces de cada función corresponde al grado de la misma.

Características de la raíz de una función: Considera a la constante “a” como el cero o

Raíz de una función, siendo a > 0 y elemento del conjunto de los números reales.

Según las propiedades de la raíz se cumple lo siguiente:

1) x = a es un cero o raíz de la función f(x)

2) x = a es una solución de la ecuación polinomial f(x) = 0

3) (x – a) es un factor de la función polinomialf(x)

4) (a, 0) es una intersección en el eje de las “x” de la gráfica de f(x)

La obtención de dichas raíces te ayuda a identificarla con facilidad y además, a trazar un bosquejo de la gráfica de la función polinomial de manera más práctica y rápida.

Las ecuaciones que no pueden ser factorizables indican que no todas las funciones polinomiales tienen raíces reales, existen varios métodos que pueden mostrarte el tipo de raíces que posee tu función polinomial.

Uno de ellos es la llamada prueba del cero racional, la cual relaciona todas las raíces racionales posibles de un polinomio involucrando el coeficiente principal y el término independiente.