Bloque VI 

Aplicas funciones racionales

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Las funciones racionales son del tipo:

Dominio de definición de una función racional 
Para el cálculo del dominio de las funciones con la x en el denominador o racionales, hay que tener en cuenta que el denominador de una fracción nunca puede ser nulo.
Luego los valores de x que hagan cero el denominador de la función no pueden pertenecer al dominio de la misma

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.

Asíntotas horizontales:

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).

Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.

Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical.

La forma de cálculo de las asíntotas horizontales ya se estudió en el capítulo de límites, en los límites hacia infinito.

Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales:

1.- Desde el punto de vista funciones racionales sólo hay dos tipos que presentan asíntotas horizontales; las que tienen el grado del numerador igual o menor que el grado del denominador.

2.- También presentan asíntotas horizontales algunas funciones exponenciales así como algunas logarítmicas.

Asíntotas verticales:
Una asíntota vertical es una recta vertical, a la cual se acerca la función sin tocarla nunca.
OJO: No debe confundirse la condición de que una asíntota vertical no se toca o cruza, con el hecho, de que las funciones sí pueden cruzar o tocar una asíntota horizontal.
Para que una función tenga una o varias asíntotas verticales, se tienen que cumplir las siguientes condiciones:
1.- En x = a, la función no está definida, o sea, x = a no es parte del dominio de la función. Por esto no la puede tocar.
2.- El límite cuando x tiende a "a" de la función no existe, pero tiene que haber una tendencia de la función hacia valores extremadamente grandes (infinito) ó extremadamente negativos (menos infinito). Puede darse el caso, de que acercándose por ambos lados al valor de x = a, la tendencia del valor de la función sean ambos infinitos ó ambos menos infinito.
NOTA: Una asíntota vertical puede provocar en la función un cambio de concavidad en la función de antes de la asíntota a después de la asíntota. Analícense algunas de las gráficas de las funciones a continuación. En las primeras dos gráficas hay un cambio de concavidad antes y después de la asíntota vertical.

Bloque V 

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas.

Ceros y raíces de la función

En matemática, se conoce como raíz (o cero) de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:

Llamamos ceros o raíces de una función f a los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=0. Los ceros de una función son las abscisas de los puntos en los cuales su gráfica tiene contacto con el eje de las x.

   Para hallar los ceros de una función f(x), hay que buscar las abscisas de los puntos cuya ordenada es 0.
Para ello, planteamos f(x)=0 y despejamos, de ser posible, los valores de x que verifican la ecuación.
Ejemplos:
Busquemos las raíces de h(x)= x² - 1     ( a=1, b=0, c= -1)
Planteamos x² - 1=0
Despejamos x = x² =  |x|= Ö 1 =>
|x|= 1 =>x1=1    o  x2= -1


Los valores  x1=1    o  x2= -1 son los puntos en los que el gráfico de esta función interseca al eje x.
Busquemos las raíces de g(x)= x² + 2      ( a=1, b=0, c= 2 )
Planteamos ------------->x² + 2 =0
Despejamos x ---------->x² = -2


Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo, g(x) no tiene raíces reales, es decir,  no tiene puntos de contacto con el eje x. 

Busquemos las raíces de g(x)= (x -3 )²
Planteamos -------------> ( x - 3 )²  =0
Despejamos x ---------->  x - 3      = Ö 0
x - 3      = 0  =>  x = 3

El  valor  x=3    es el único  punto en el  que el gráfico de esta función interseca al eje x, dicho punto coincide con su vértice, en este caso la raíz se llama doble.
Busquemos las raíces de g (x)= x ² + 4x      ( a=1, b=4, c= 0)
Planteamos --------------->    x ² + 4x  = 0
Extraemos factor común x--> x (x + 4 ) = 0
Si x (x + 4 ) = 0 => x=0     o     x + 4 =0
Despejamos x ---------->    x  + 4   =  0    =>  x = -4


Los valores  x1= 0   o  x2= -4  son los puntos en los que el gráfico de esta función interseca al eje x.
Busquemos las raíces de g (x)= x ² + 2x - 3     ( a=1, b=2, c= -3)
Planteamos ------------->    x ² + 2x - 3 =0



f(x) = x2 + x - 12
Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:
x2 + x - 12 = 0 Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.
x = - 4 Solución 1
x = 3 Solución 2


Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12


Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3

Teoremas del factor y del residuo

Teorema del residuo 

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a). 

El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética. 

A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raíz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raíz del polinomio. 

Teorema del factor 

Si a es una raíz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real. 

Aquí podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

División sintética

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.

Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:

Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restadospueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos.al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:

1.     Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta

2.     Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón

3.     Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.

4.     Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).

5.     Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.

6.     Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

Ejemplos:

Donde -108 es el residuo

Por lo tanto el residuo es 91

Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una variable no constante con coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero.

Aunque ésta en principio parece ser una declaración débil, implica todo polinomio de grado n de una variable no constante con coeficientes complejos n tiene, contando con las multiplicidades, exactamente n raíces. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.

Hay muchas demostraciones de este importante resultado, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.

Bloque IV Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

                                                   Bloque IV

Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

Análisis de una Función Polinómica de Grado 4

Esta actividad virtual consiste en el armado y, principalmente, el análisis de una función de forma polinómica de grado 4.La herramienta utilizada para graficar, analizar y verificar esta función será el buscador inteligente wolframalpha

ECUACIONES FACTORIZABLES DE GRADO TRES Y CUATRO.

Para identificar las aplicaciones una función polinomial de grado tres, presentamos una situación común de construcción.
Se tiene una hoja cuadrada de cartón de72 cm de lado y quieres construir una caja para sus cosas recortando un cuadrado de cada esquina. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea el máximo?

En esta situación se dispone de la lámina completa en la que se puede recortar un cuadrado de lado “x”. al cortar cada esquina y doblar las partes restantes para obtener la caja de base cuadrada cuyas dimensiones son, en la base, 72 – 2x centímetros de lado y una altura de x centímetros.

El volumen de cualquier caja se obtiene como el producto de cada una de sus aristas, para este caso:

V= (72-2x)² x y desarrollando y simplificando se obtiene:

V = 4x³ – 288x² + 5 184x

Esta expresión algebraica determina el volumen máximo, pero necesitamos saber cuánto hay que recortar para que así sea. Pero si encontramos las raíces de esta función obtenernos el valor para que sea cero la función y no el valor de x para un mayor volumen. Al realizar un tabla de valores para x y y, encontraremos que hay un máximo volumen en 12 centímetros.

CARACTERIZA EL COMPORTAMIENTO GENERAL, ALGEBRAICO Y GRÁFICO DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO.

        La determinación de las raíces de un polinomio es una práctica antigua y la notación utilizada actualmente se desarrolló en el siglo XV.

    En la actualidad, debido a su estructura, los polinomios son muy sencillos de evaluar y se usan ampliamente como herramienta poderosa en otras ramas de las matemáticas. Por lo general se usan para relacionar volumen en el espacio o en el tiempo.

    Las funciones polinomiales de grado tres tienen la forma f(x) = ax³ + bx² + cx + d, donde a no es cero.

Esta función corresponde a la función clásica y = x³ con su grafica de una “S” alargada.

Sin embargo al presentar una función cúbica con todos sus términos, esta se presenta de forma muy especial. Veamos la gráfica de la función

f(x) = x³ + 8x² + 10x +1

Funciones de grado 4

Para advertirla influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones polinomiales de grado cuatro, es necesario, al igual como lo hiciste con las funciones polinomiales de grado 3, hacer pruebas modificando los parámetros de algunas funciones.

La gráfica de las funciones de grado cuatro se eleva sobre la izquierda y la derecha, es decir, crecen en ambos lados, a excepción de aquella cuyo coeficiente principal es negativo, decrece en ambos lados.

Raíces (ceros)reales de funciones polinomiales de grado 3 y 4

Las raíces reales de una función se obtienen cuando la función se hace 0, es decir

f(x) = 0, en algunos casos son fáciles de apreciar en el plano cartesiano.

Las raíces se logran apreciar en cada cruce que tiene la gráfica con el eje de las “x”, y como has notado, el número de raíces de cada función corresponde al grado de la misma.

Características de la raíz de una función: Considera a la constante “a” como el cero o

Raíz de una función, siendo a > 0 y elemento del conjunto de los números reales.

Según las propiedades de la raíz se cumple lo siguiente:

1) x = a es un cero o raíz de la función f(x)

2) x = a es una solución de la ecuación polinomial f(x) = 0

3) (x – a) es un factor de la función polinomialf(x)

4) (a, 0) es una intersección en el eje de las “x” de la gráfica de f(x)

La obtención de dichas raíces te ayuda a identificarla con facilidad y además, a trazar un bosquejo de la gráfica de la función polinomial de manera más práctica y rápida.

Las ecuaciones que no pueden ser factorizables indican que no todas las funciones polinomiales tienen raíces reales, existen varios métodos que pueden mostrarte el tipo de raíces que posee tu función polinomial.

Uno de ellos es la llamada prueba del cero racional, la cual relaciona todas las raíces racionales posibles de un polinomio involucrando el coeficiente principal y el término independiente.