Bloque I
Reconoce y realiza operaciones con
distintos tipos de funciones
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Funciones
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Relaciones
·
Dominio
·
Contra dominio
·
Imagen
·
Regla de correspondencia
Funciones: En
matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado condominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un único
elemento f(x) del condominio
(los que forman el recorrido, rango o ámbito).
De
manera más simple: Una función es
una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera
corresponde un único valor de la segunda.
Tipos de funciones
Dependiendo
de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la
función f en x, tendremos distintos tipos de
funciones:
Función
constante
Una
función de la forma f(x) = b,
donde b es una constante,
se conoce como una función constante.
Por
ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el
recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que
es una recta horizontal.
Función
lineal
Una
función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa
la pendiente y b representa
el intercepto en y. La representación gráfica de una
función lineal es una recta. Las funciones lineales son
funciones polinómicas.
Ejemplo:
F(x) = 2x − 1
Es
una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.
Polinómicas: son aquellas funciones que las define un
polinomio. Su dominio es el conjunto de los números reales. Estas funciones son
continuas, carecen de asíntotas horizontales o verticales que, de acuerdo a su
grado, presentan puntos de inflexión, mínimos y máximos.
Cuadráticas: son funciones polinómicas
de segundo grado y su representación gráfica es siempre una curva que se la
conoce bajo el nombre de parábola. Las raíces de esta clase de función son
aquellos valores de X cuya expresión es cero, gráficamente, donde la parábola
corta el eje de X. Si a es mayor a cero, la parábola es cóncava, si es menor a
cero, será convexa.
Racional: una función racional es el cociente de dos
funciones polinómicas. El dominio de este tipo de funciones es el conjunto de
los números reales, excepto por aquellos que anulen al denominador.
Exponencial: en este tipo de variables, la base de la potencia
es constante mientras que el exponente la variable. El dominio de estas
funciones son el conjunto de números reales.
Relación
Relación es la correspondencia de un primer
conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto,
llamado Recorrido o Rango, de
manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del
Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la
condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del
Recorrido.
De
las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
También
debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas
las Relaciones pueden
ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Dominio
El dominio de una función es el conjunto de todos
los valores de entrada que al aplicar la función llevan a un valor de salida.
Dominio y rango
Hay
nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de
una función:
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~Lo que puede entrar en una
función se llama el dominio
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~Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio
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~Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen
|
Entonces,
en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto
"Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas
(los valores producidos realmente por la función) son el rango.
Parte de la función
Lo que
sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el
dominio.
De
hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da
una función diferente.
Ejemplo:
una simple función como f(x) = x2 puede
tener dominio (lo que
entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces
el conjunto {1,4,9,...}
Y otra
función g(x) = x2 puede
tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango
será el conjunto {0,1,4,9,...}
Aunque las dos funciones toman la entrada y
la elevan al cuadrado, operan en conjuntos diferentes de entradas, y
por eso dan salidas diferentes.
|
Contra dominio
Contra dominio de una función: Son el conjunto de
valores que puede tomar la variable dependiente “y”. También es conocido como
codominio, recorrido o rango.
Ejemplo:
Dada la función f = (4, 12),(6, -7),(-1,
4),(2, 3),(-3, 6):
• Dominio: Df = 4, 6,-1, 2,- 3 (son los
primeros elementos de los pares ordenados).
• Contradominio: Cf = 12, -7, 4, 3, 6 (son
los segundos elementos de los pares ordenados).
Regla de Correspondencia
Dados
dos conjuntos: X e Y, y un Grafo f, que determina alguna Relación binaria entre algún elemento de X con algún elemento
de Y, diremos que ese grafo: f, define una correspondencia entre X e Y, que representaremos:
cuando al menos un elemento de X está relacionado
con al menos un elemento de Y.
Un ejemplo
Si
tenemos una serie de objetos, como los tubos de pintura y los pinceles, y
diferenciamos por un lado los tubos y por otro los pinceles, y asociamos a cada tubo con el pincel que tiene el mismo color de pintura, tenemos una relación color de la
pintura entre cada tubo y cada pincel que tenga el mismo color.
En
este ejemplo, podemos definir un conjunto T de
tubos de pintura y otro P de
pinceles y asociar a cada tubo del conjunto T, el pincel del conjunto P que tenga su mismo
color, esta asociación la representaremos con una flecha del tubo al pincel
correspondiente.
Puede
darse el caso que tengamos un tubo de un color pero no un pincel con el mismo
color de pintura, como en el ejemplo hay un tubo de color rojo pero no hay
ningún pincel con pintura de color rojo, por lo tanto del tubo rojo no sale
ninguna flecha.
Puede
que tengamos un tubo de un color y varios pinceles con pintura de ese mismo
color, así en el ejemplo hay un tubo verde y dos pinceles con pintura verde,
del tubo de color verde salen dos flechas una hasta cada pincel con pintura
verde.
También
puede ser que tengamos más de un tubo de un mismo color y un solo pincel con
esa pintura, en este caso, como en el ejemplo, de los dos tubos azules salen
las dos flechas hasta el único pincel con pintura azul, llegando dos flechas al
pincel azul, una de cada uno de los tubos de color azul, como se ve en la
figura.
En
la figura del ejemplo se ve un pincel con pintura amarilla, pero no hay ningún
tubo de pintura amarilla, por tanto a este pincel no llega ninguna flecha.
En
resumen la correspondencia mismo color de la pintura entre un conjunto T de tubos de
pintura, y otro conjunto P de
pinceles, existe en tanto en cuanto al menos un tubo de pintura tiene el mismo
color que uno de los pinceles, pudiendo ser esa relación tan sencilla o tan
compleja como se quiera.
En
una correspondencia matemática los conjuntos no tienen que ser necesariamente
numéricos, ni la relación entre sus elementos operaciones aritméticas, sin que
por ello deje de ser matemática.
En
el segundo ejemplo, tenemos una correspondencia entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de
caras C que hemos pintado
con esos pinceles, la correspondencia asocia a cada pincel la cara del mismo color, en este ejemplo el conjunto inicial será:
·
Conjunto final: es el segundo de la correspondencia en este
caso Y, lo representaremos como fin(f),
según el ejemplo:
En
el ejemplo de los pinceles y las caras el conjunto final está formado por:
Imagen de un elemento: dado un elemento x del conjunto
origen, y otro elemento y del
conjunto imagen, se dice que y es
imagen de x y se representa: f (x) =y
si
el elemento x está
relacionado con el elemento y según
la correspondencia f. en el ejemplo tenemos que:
f (3) = c
La
correspondencia color por la que a cada pincel se le asocia la cara pintada del
mismo color es:
El producto cartesiano de T por P es el conjunto de
pares ordenados de cada uno de los tubos de T con
cada uno de los pinceles de P, en la cuadrícula podemos ver en la
fila inferior cada uno de los tubos del conjunto T, y en la columna da la izquierda cada uno de los pinceles del
conjunto P, donde se cortan una fila y una columna están el tubo y el
pincel correspondientes, se ha destacado el fondo de las pares que forman parte
de la correspondencia.
·
Una
correspondencia es unívoca si cada elemento inicial solo tienen
una imagen.
Informalmente: "si sólo sale una
flecha de cada elemento del conjunto inicial que tenga imagen"
·
Una
correspondencia es biunívoca si cada elemento inicial solo tienen
una imagen, y cada elemento imagen solo tiene un origen.
Informalmente: "si sólo sale una
flecha de cada elemento del conjunto inicial que tenga imagen y a cada elemento
del conjunto final con origen sólo le llegue una flecha"
No
es necesario en ninguno de los dos casos, que todos los elementos de X tengan una imagen,
ni que todos los elementos de Y tengan
un origen, claramente una correspondencia tiene que ser unívoca para poder ser
biunívoca.
Si
representamos con un rectángulo todas las posibles correspondencias entre los
conjuntos X e Y, si el conjunto B es
el de las correspondencias unívocas, y al A el
de las biunívocas, en un Diagrama de Ven, se ve claramente que el conjunto de
las correspondencias biunívocas es un subconjunto de las correspondencias
unívocas.
En
el diagrama de Ven son las correspondencias que pertenecen a B.
·
Es
una correspondencia unívoca cuya correspondencia
inversa también es unívoca.
Es
decir: cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento
del conjunto imagen, y cada elemento del conjunto imagen se corresponde con
solo un elemento del conjunto origen.
En
el diagrama de Ven son las correspondencias que pertenecen a A.
Ejemplos
Una relación biunívoca muy utilizada e independiente de
otros valores es la existente entre el valor de la propiedad termométrica
utilizada y el valor numérico de la temperatura asignada. Esto es que
cada valor de temperatura se corresponde únicamente con un valor de la escala del termómetro y cada valor de la escala del termómetro se corresponde
únicamente con un valor de temperatura.
Si
una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina
biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único
origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen
origen.
En
el diagrama de Ven el conjunto A es
el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las
aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y
sobreyectiva, será la intersección de A y B.
Estas
dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo
número de elementos, la cardinalidad de X es
la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia
cuando se pretende comparar dos conjuntos:
·
Si
dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos,
podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La
cardinalidad de X es
igual a la de Y.
Ejemplo
en
el diagrama de la figura:
todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la
aplicación sea inyectiva
todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.
Si
tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:
Una
aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más
orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final
que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre
específico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático,
un menor interés.
Para
esta aplicación los conjuntos X e Y no son
comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad,
partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.
En
el diagrama de Ven corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B. Ejemplo en el diagrama de la figura:
El elemento b de Y, tiene dos orígenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicación no sea inyectiva el elemento a de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.
sobreyectiva,
luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva
,
la cual es de grado 3, ya que el exponente mayor es 3.
, que es una
función polinómica de grado 2, o sea cuadrática, cuya gráfica es una parábola.
, que es de grado
6, ya que multiplicando todos los paréntesis, nos daría como mayor exponente el
6. Esta función se grafica más adelante, para hacer notar, que las
intersecciones con los ejes y la factorización de la función polinomial tienen
una estrecha relación.
