Bloque VII            Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Función logarítmica

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Propiedades de los logaritmos

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; log_b b = 1 ya que b¹ = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); log_b 1=0 ya que b⁰ = 1.

Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 <  a < 1 entonces log_b a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica log_b(x/y)=log_b x - log_b y; puesto que a pertenece al intervalo 0 <  a < 1, suinverso a^-1 será mayor que uno, con lo que log_b(a)=log_b(1/a^-1) = log_b 1 - log_b(a^-1)= -log_b(a^-1).

Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualesquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bⁿ será mayor que cero, bⁿ > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bⁿ = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando ellogaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.

Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, y 2⁴ = 16 etc. luego log₂ 1 = 0, log₂ 2 = 1, log₂ 4 = 2, log₂ 8 = 3 y log₂ 16 = 4 etc.